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Z-Durchschnittsgröße bestimmt durch DLS
Das Z-Mittelwert berechnete Partikelgrößenergebnis wird häufig bei der dynamischen Lichtstreuung verwendet. Diese Notiz behandelt die Bedeutung des Z-Durchschnittswerts für die Partikelgröße.
Ergebnisse der dynamischen Lichtstreuung (DLS) werden oft im Z-Durchschnitt ausgedrückt. Der Z-Durchschnitt entsteht, wenn DLS-Daten mittels der Kumulantentechnik analysiert werden (1). Da die Berechnung des Z-Durchschnitts mathematisch stabil ist, ist das Z-Durchschnittsergebnis rauschempfindlich, was es zu einem bevorzugten DLS-Größenparameter macht. Zweck dieses Dokuments ist es, die Bedeutung dieses Wertes zu klären.
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Der Z-Durchschnitt kann als intensitätsbasierter harmonischer Mittelwert (2,3) ausgedrückt werden und wird durch die folgende Gleichung dargestellt:
Hier ist S i die gestreute Intensität von Teilchen i und D i der Durchmesser des Teilchens i. Beachte, dass das Ergebnis in Form eines harmonischen Mittelwerts vorliegt. Da dieser Mittelwert aus der intensitätsgewichteten Verteilung berechnet wird, führt zu der Aussage, dass die Z-Durchschnittsgröße die intensitätsgewichtete harmonische Mittelmittelgröße ist. Für den Fall hinreichend kleiner Teilchen, die als Rayleigh-Streuer bekannt sind, gilt Si ~ Di6. Daher kann der Z-Durchschnitt wie folgt angenähert werden:
Es gibt zwei Punkte bezüglich der Verwendung des Begriffs "Z-Durchschnitt". Die erste ist, dass die Verwendung des Begriffs Z-Durchschnitt in DLS nicht mit der Verwendung des Begriffs bei der Analyse von Polymeren übereinstimmt. Die zweite ist, dass man gelegentlich auch andere Notationen findet, wie x DLS oder d DLS. Dennoch ist "Z-Durchschnitt" der gebräuchlichste Begriff.
In Abbildung 2 illustrieren wir den Z-Durchschnitt mit einer Berechnung, die eine lognormale Größenverteilung zeigt. Eine volumengewichtete differentielle Größenverteilung ist blau dargestellt. Eine Diskussion verschiedener Verbreitungstypen findet sich in HORIBA TN154.
Die Mediangröße der Beispielverteilung (Dv,50) wird mit 100 nm angegeben. Aus dieser Verteilung berechnen wir die gestreute Intensität für jede Partikelgröße (4). Diese intensitätsbasierte Verteilung wird dann grün dargestellt. Schließlich ist der harmonische Mittelwert der intensitätsbasierten Verteilung bei 97 nm angegeben. Beachte, dass die Z-Durchschnittsgröße nahe an, aber nicht gleich Dv,50 ist.
Der Z-Durchschnittsgrößenwert wird mit den Kumulantenmethoden (1) berechnet. Da diese Technik auf numerisch stabiler Fitling der kleinsten Quadrate basiert, ist sie relativ unempfindlich gegenüber experimentellem Rauschen.
In der Kumulantenanalyse wird die subtrahierte Basis-Autokorrelationsfunktion C als exponentieller Abfall folgender Form behandelt:
Hier ist C die subtrahierte Basis-Autokorrelationsfunktion und τ die Verzögerungszeit. Werte für A, Γ und μ2 können leicht durch eine kleinste Quadratanpassung erhalten werden. Man findet dann den intensitätsgewichteten durchschnittlichen Diffusionskoeffizienten Dt,avg. mit der Beziehung Γ=Dt,avg. F2. Hier ist q der Streuvektor gegeben durch q= (4πn/λ)sin(θ/2). Der Brechungsindex der Flüssigkeit beträgt n. Die Wellenlänge des Laserlichts beträgt λ und der Streuwinkel θ. Schließlich verwendet man die Stokes-Einstein-Relation, um von Dt zur Z-durchschnittlichen Partikelgröße, Dz, zu gelangen.
Es gilt:
Leider ist die Gewichtung des Durchschnitts etwas verworren. Beachten Sie, dass die Zerfallskonstante proportional zum Diffusionskoeffizienten ist. Nach DLS hat man also den intensitätsgewichteten Diffusionskoeffizienten bestimmt. Der Diffusionskoeffizient ist umgekehrt proportional zur Größe. Daher ist die "Z-Durchschnittsgröße" die intensitätsgewichtete harmonische Mittelgröße.
Trotz der verworrenen Bedeutung nimmt die Z-Durchschnittsgröße mit zunehmender Partikelgröße zu. Daher liefert es ein zuverlässiges Maß für die durchschnittliche Größe einer Partikelgrößenverteilung. Außerdem ist sie leicht zu messen. Aus diesen Gründen ist die Z-Durchschnittsgröße zur anerkannten Norm für die Präsentation von Partikelgrößen-Ergebnissen mittels DLS geworden.
Der HORIBA SZ-100V2 Nanoparticle Analyzer präsentiert außerdem Größenmessergebnisse als Verteilungstabelle und Diagramm und berechnet den mittleren Durchmesser oder die Durchmesser für multimodale Verteilungen. Die Methoden hinter diesen Berechnungen liegen außerhalb des Rahmens dieser Arbeit.
(1) Koppel, D.E. "Analyse der makromolekularen Polydispersität in der Intensitätskorrelationsspektroskopie: Die Methode der Kumulanten" J. Chem. Phys 57 (11), S. 4814-4820, 1972.
(2) ISO 22412:2008 Partikelgrößenanalyse – Dynamische Lichtstreuung
(3) Thomas, J. C. "Die Bestimmung log-normaler Partikelgrößenverteilungen durch dynamische Lichtstreuung" J. Colloid Interface Sci. 117 (1) S. 187-192 (1987)
(4) Hier wird der Rayleigh-Debye-Gans-Ansatz verwendet und eine größere durchschnittliche Partikelgröße gewählt, um das Regime zu veranschaulichen, in dem die Näherungen in Gleichung 2 nicht zutreffen. Diese Berechnung bezieht sich auf Teilchen in Wasser, einen 532 nm Laser und einen Streuwinkel von 90 Grad.
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