在光源的所有波长上，单色仪和摄谱仪系统在出口平面上形成入口狭缝的像。实现这一功能有很多种配置设计，在这里仅仅讨论最常见包含平面光栅系统（PGS）和像差修正全息光栅（ACHG）系统。

定义

L_A   入射臂的长度

LB   出射臂的长度

h   入射狭缝的高度

h'   入射狭缝的像高度

a    入射角

b    衍射角

w   入射狭缝的宽度

w'   入射狭缝的像宽度

D_g   圆形光栅的半径

W_g   矩形光栅的宽度

H_g   矩形光栅的高度

       Fastie-Ebert型仪器主要由一片面积很大的球面反射镜和一片衍射光栅组成（参看图2.1）。

        首先，反射镜的一部分收集并准直将要入射到平面光栅上的光。然后，反射镜的另一部分将衍射分光后的光线聚焦并使之在出射平面上成入口狭缝的像。

        这是一类造价低廉、非常常见的设计，但是由于系统偏差如球面偏差（spherical aberration）、彗差（coma）、散光偏差（astigmatism）以及非平面焦平面等，它在离轴光线的成像质量方面能力有限。

        Czerny-Turner(CZ)型单色仪由两片凹面反射镜和一片平面衍射光栅组成（参看图2.2）。

        虽然这两片反射镜各自的功能与Fastie-Ebert型配置中的单片球面反射镜的功能相同，如首先准直入射光线（反射镜1），然后聚焦从光栅反射的色散分离光线（反射镜2），但是Czerny-Turner型配置中反射镜的尺寸却可以根据需要改变。

        采用非对称几何学，Czerny-Turner型配置能够设计实现平面光谱面以及在特定波长上良好的彗差修正。但球面偏差和散光偏差在所有波长上依然存在。

        采用CZ配置，也能够设计与大通量光学相匹配的系统。

        PGS摄谱仪存在某些偏差，降低了光谱分辨率、空间分辨率以及信噪比等指标。最突出的偏差有散光偏差、彗差、球面偏差以及散焦（defocusing）。PGS仪器常常离轴使用，因此偏差在每个平面上都有所不同。本书并不打算详细回顾这些偏差的概念和细节¹，但是在考虑这些偏差产生的效应时，理解光路差（OPD）的概念是很有帮助的。

        本质上，光路差（OPD）是实际产生的波前和没有偏差的条件下应该得到的“参考波前”之间的差别。这一参考波前是以像为中心的球面或者成像在无穷远处时的平面。比如：

        散焦是指光线在探测器表面外的另一个平面上聚焦，从而造成不清晰成像，降低了光谱带宽、空间分辨率和光信号的信噪比等参数。最常见的一个实例就是球面波前入射到图2.2中的反射镜M1上。当PGS单色仪采用一套单出口狭缝和一支光电倍增管（PMT）探测器时，散焦不会造成影响。然而，未修正的PGS仪器其聚焦面为曲面，从而采用平面线性二极管阵列时在探测器的两端会受到散焦的影响。如图2.2所示的几何修正CZ配置几乎消除了这一问题。散焦带来的OPD随数值孔径的平方改变。

        彗差是PGS仪器的离轴特性导致的结果，如图2.3所示由于光线在色散平面上扭曲从而表现为谱线的扩张变形。彗差是造成光学带宽和光信号信噪比这些参数降低的原因。彗差带来的OPD随数值孔径的立方变化。在CZ配置中如图2.2所示，可以通过计算一个合适的几何尺寸从而在波长上修正彗差的影响。

        球面偏差是指非光学平面中心出射的光线聚焦在光学平面中心出射光线的焦点上这一情况（参看图2.4）。球面偏差导致的OPD随数值孔径的4次方变化，而且不使用非球面光学是无法修正的。

        散光偏差是离轴几何的特性。在这种情况下，平面波以一定的入射角照射在球面反射镜上（如图2.2中的反射镜M2），这时反射镜出现两个焦点：切面（tangential）焦点F_t和矢面（sagittal）焦点F_s。散光偏差带来的效应是入口狭缝处的点光源在出口处成垂直于色散平面的线型像（参看图2.5），从而阻止了空间分辨率的提高并且由于狭缝高度的增加而降低了光信号的信噪比。散光偏差导致的OPD随数值孔径的平方和离轴角度的平方变化，并且不使用非球面光学是无法修正的。

        全息光栅使得球面反射镜CZ型光谱仪中特定波长上的所有偏差能够被修正，并且在一个较宽的波长范围内能够有效地缓解偏差的影响。

        这一类型的单色仪和摄谱仪都仅仅使用一单片全息光栅，而没有其他辅助光路。

        在这一类仪器中，光栅不仅分离不同波长的光，而且对入射光进行聚焦。

        由于设计中仅仅采用了一个光学元件，这类仪器造价低廉、而且外形紧凑。图2.6a给出了ACHG单色仪的结构，而图2.6b给出了ACHG摄谱仪的结构。其中，焦平面的位置由下列参数来决定：

β_H - 垂直光谱面方向和光栅法线方向的夹角

L_H - 从光栅中心到光谱面的垂直距离

        从式(1-2)得到，
(为常数)

        根据此式和式 (1-3)，

(2-1)

        根据式(2-1)和(1-2)能够分别决定a和b。参看表2.2中的实例。

        提示：实际中，可实现的最大波长受光栅的机械旋转范围决定。这意味着光栅的刻线密度增加一倍时，相应的光谱仪光谱范围减小一半。(参看第2.14节).

        要理解如何评价整套单色仪系统，有必要从传输光学部分开始，从光源到出射狭缝（见图2.7）。这里我们给出“不折叠”的系统示意图，以直线光路的形式展示。

AS - 光开口阻挡

L1 - 透镜1

M1 - 反射镜1

M2 - 反射镜2

G1 - 光栅

p - 透镜L1的物距

q - 透镜L1的像距

F - 透镜L1的焦距 （物体无穷远处时的像距）

d - 透镜的光开口直径 (图中L1)

Ω - 半角

s - 光源的面积

s' - 光源其像的面积

        光开口阻挡（AS）限制通过这一开口的锥形光通量，它通常靠近另一个光学组件。

       “瞳孔”或者指光开口阻挡，或者指光开口阻挡的像。

        图2.7中入口“瞳孔”是光源通过透镜L1~成的虚像。

        光谱仪的入口“瞳孔”是光栅（G1）通过反射镜M1在入射狭缝处的成像。

        入口光学部分的出口“瞳孔”是在光谱仪入口狭缝位置的AS本身。

        光谱仪的出口“瞳孔”是光栅通过反射镜M2在出口狭缝处的成像。

        光学元件的光收集能力可以用数值孔径（NA）来严格表示。

        数值孔径的公式表达为：

        其中m是折射率（空气中m=1）

        f数可表达为：

(2-3)

        f数也常常用相距或者物距与“瞳孔”直径的比值来表示。当透镜的物距和像距均有限时（如图2.7），存在从光源到透镜L1（直径为AS）的等效f数，由下式给出：

          等效f数_in=P/入口“瞳孔”直径=P/AS的像大小(2-4)

以及从L1到入口狭缝的等效f数：

        等效f数_out =q/出口“瞳孔”的直径=q/AS(2-5)

        在书中所有的章节中，f数的计算永远遵循入口与出口“瞳孔”相等且等于透镜或者光栅的光开口阻挡，而且距离的确定均从透镜或者光栅的中心起。

        当根据上述方法计算得到的f数数值等于f/2或者更大（比如：f/3、f/4等）时，这一近似方法才可靠，因为此时sinW≈tanW的关系成立。但是，如果光学元件的工作f数远小于f/2，那么f数则需先通过半角得到数值孔径的方法来计算。

        由于入射角a总是与衍射角b的符号或者数值不同（除了Littrow条件下的情况），光栅的映射面积随波长而改变，而且取决于从入口狭缝考虑还是出口狭缝考虑。在图2.8(a)和2.8(b)中，W'和W''是光栅分别在入口狭缝和出口狭缝处得到的映射宽度。

        为了计算得到矩形光栅光谱仪的f数，首先必须计算出“等效直径”，包括入口狭缝处的D'和出口狭缝处的D''。通过将光栅的映射面积转换成圆盘的面积从而计算出直径D'和D''。

                   W_g’= W_g cosa=入口狭缝处光栅的映射面积                （2-6）

                   W_g’’ = W_g cosb=出口狭缝处光栅的映射面积               （2-7）

        因此，在光谱仪中，f数_in不等于f数_out。

f数_in=L_A/D‘ (2-8)
 f数_out=L_B/D‘ (2-9)

        其中，对于矩形光栅，D'和D''分别由下式给出：

(2-10)

(2-11)

        对于圆形光栅，D'和D''分别由下式给出：

 (2-12)
 (2-13)

        表2.2给出了f数随波长的变化。

        在任何光谱仪系统中，光源在入口狭缝（开口）处成像，入口狭缝又在出口狭缝处成像，并照射在探测器、样品上等。这个过程不可避免地导致了一个或者多个像的放大或者缩小。根据图2.7中光源通过透镜L1在入口狭缝处成像的实例，放大率可由下列等式来确定：

(2-14)

        类似可得，光通量密度由像中的光子数及其所占的面积决定，因此如果测量过程中用到了光通量密度敏感的探测器或者样品，放大率的变化将十分重要。一次成像过程中光通量密度的变化可以用物的面积S和像的面积S'之比来决定，根据这一规律可以得到下列等式：
(2-15)

        这些关系式表示像和物所占的面积比由f数的平方来决定。因此，出口处的f数决定了成像处的光通量密度。使用过摄影胶片作为探测部件的人们对这些关系式很熟悉，它们可用来计算曝光时间以实现一定的信噪比。

        扭曲失真是指光学组件对光源的放大（或者缩小）在横向和纵向放大倍数不同，参看图2.9。

        基于衍射光栅的仪器，入口狭缝在出口平面并不是1:1成像。（除了Littrow条件的情况，而且衍射光线垂直于色散平面且有L_A= L_B。）

        这意味着实际上在所有商品化仪器中，设定入口狭缝和出口狭缝宽度相等的传统准则并不是在任何情况下都合适。

        水平放大倍数取决于入射角a和衍射角b的余弦值，以及L_A和L_B的比值（参看式（2-16））。此外，放大倍数还与波长相关（参看表2.3）。

(2-16)

表2.3给出了a、b、色散大小、入口狭缝其像的水平放大倍数以及光谱带宽之间的关系。

        出射狭缝的宽度匹配入射狭缝的像

        *随着光栅倾斜角度的增加，系统的彗差随之变大。因此，尽管800nm处的光谱带宽参数要优于200nm处，这一优势在f数小于f/8的系统中对用户而言意义不大。

        狭缝高度的放大倍数正比于入射臂和出射臂的长度比值，并且与波长无关（不考虑光学组件的成像偏差会产生影响）。

(2-17)

        提示：几何放大并不是光学成像偏差！

        一般而言，光谱带宽（Bandpass）和分辨率都是用来表征仪器分辨相邻谱线能力的参数。

        假定光源是连续的，仪器的光谱带宽是指能够被分开的光谱间距。这取决于许多因素，包括光栅的宽度、系统成像偏差、探测器的空间分辨率以及入口狭缝和出口狭缝的宽度。

        如果光源发射的光谱仅仅包含单色波长l₀（见图2.10），这一光信号被一台理想的光谱仪接收分析，那么光谱仪的输出应该等于光源的发射谱（见图2.11），即在l₀处的谱线。

        实际情况中，光谱仪并不是理论上的理想情况，它会对纯单色光产生明显的光谱展宽。单色光展宽为有限宽度的谱线，其宽度称为“仪器线形”(instrumental line profile)，或者是仪器光谱带宽（参看图2.12）。

        采用固定光栅摄谱仪的配置分析几乎为单波长的光信号如单模染料激光器发出的光束，可得到仪器线形。在给定入口和出口狭缝参数的前提下，根据待测单色波长来设置光栅的倾斜角度，同时激光器给出不同的波长。探测器的输出被记录并显示出来。测量结果是强度随波长的分布。

        对于一台单色仪，引入单色光源并旋转光栅能够得到相同的结果。

        于是，光谱带宽可定义为单色光输入时的半高全宽（FWHM）。

        任何光谱结构均可认为是无数个不同波长的单色光之和。因此，仪器线形、实际光谱和记录光谱之间存在一定的关系。

        假设B(l)是待分析光源的真实光谱。

        假设F(l)是光谱仪记录下的光谱。

        假设P(l)是仪器线形。

(2-18)

        记录光谱F(l)是待测光谱和仪器线形的卷积。

        仪器线形与多个参数相关:

•  入口狭缝的宽度
•  出口狭缝的宽度或者采用多通道探测器时单个像素的大小
•  衍射现象
• 成像偏差
• 系统组件的质量和准直情况

        每个影响参数可以用一个特殊函数P_i(l)来表达，每个函数在忽略其他参数的情况下得到。综合的仪器线形P(l)是这些单个函数的总卷积。

(2-19)

        如果狭缝宽度为有限值，而且没有其他的效应使得谱线展宽，并假设：

W_ent = 入口狭缝其像的宽度

W_ex = 出口狭缝的宽度或者采用多通道探测器时单个像素的宽度

Dl₁ = 线色散 ×W_ent

Dl₂ = 线色散 ×W_ex

        由此得到狭缝对仪器线形的影响是两个狭缝函数的卷积（参看图2.13）。

        如果两个狭缝足够窄而且成像偏差可忽略，那么仪器线形是一个衍射线形。在这种情况下，系统的分辨率等于波长l除以光栅分辨能力的理论值R（参看式(1-11)）。

        如果两个狭缝足够窄，而且成像偏差造成的谱线展宽较衍射造成的谱线展宽更突出，那么仪器线形的展宽量进一步增大。

        实际情况中， F(l)的FWHM由许多谱线展宽因子的卷积决定，这些因子包括：

dl(分辨率): 光谱仪的极限分辨率，取决于由系统成像偏差和衍射效应所决定的仪器线形参数。

dl (狭缝): 由光谱仪有限的狭缝宽度决定的光谱带宽。

dl (谱线本身): 待测谱线本身的FWHM。

        假定谱线为高斯线形，我们得到关于FWHM的如下近似关系：

(2-20)

        一般而言，大多数光谱仪并非工作在分辨率为极限值的状态，因此狭缝成为影响线形的主要因素。从图2.13看出，与狭缝相关的FWHM，它取决于入口狭缝其像的宽度和出口狭缝宽度中的较大项。如果两个狭缝的宽度准确对应，而且成像偏差的影响与狭缝宽度相比可以忽略，那么FWHM等于谱线中强度值降为峰值一半时对应的谱宽。（但是，成像偏差还是对谱线展宽产生影响）。光谱带宽则等于：

         BP = FWHM ≈ 线色散值×(入口狭缝其像的宽度和出口狭缝宽度中的较大项)。

        在第2.10节中，给出了光谱仪成像放大倍数的计算。通过式(2-16)来计算入口狭缝其像的宽度并乘以色散值（式(1-5)），从而得到系统的光谱带宽。

        光谱带宽由下式给出：

(2-21)

        设定合适的出口狭缝宽度，能够获得较大的光输出并且避免光谱带宽的损失。

        从式(2-21)和式(1-5)，我们发现一个有趣的规律：

• 光谱带宽随cosa改变

•  色散值随cosb改变

        由于在出口平面上的像宽随波长变化，因此阵列型探测器的使用者必须注意每个光谱带宽上的像素个数。通常，采用3-6个像素来决定一个光谱带宽。如果成像的放大倍数增加~1.5~倍，那么相应的每个光谱带宽对应4-9个像素。进一步讨论波长和像素位置的关系，请参看第5章。决定光谱带宽的FWHM等于入口狭缝成像的某个宽度，这个宽度内通常包含80\%待测波长上的光子数；其余由于在谱峰的基底而被忽略。因此，任何成像放大，相当于引入更多的像素同时展宽待测信号的基底。

1. 单色光时的光谱带宽

根据定义，光谱宽度无限窄的单色光其谱宽小于根据式(2-20)决定的仪器光谱带宽。（一条谱宽非常窄的谱线通常称为“线型谱”，因为通过光谱仪观察它的结果就是这样。）在这种情形中，所有的光子均为同一波长，波长值与它们在出口平面上的分布无关。因此，入口狭缝的像将仅仅由同一波长的光子组成，即使存在有限的FWHM。因此，这一情形下不能认为围绕中心波长的光谱展开是相应的光谱带宽。比如，待测单色光为250nm，光谱仪的光谱带宽设置成FWHM为5nm，这并不意味着测量结果是250nm±2.5nm，因为待测单色光中没有除了250nm以外的其他波长。然而，这一结果说明，一条光谱测量结果（波长－强度图）中出现“波峰”和显而易见的“5nm” FWHM可能是由于仪器原因而不是光谱本身造成的展宽。

2. 有限谱宽“线”光源时的光谱带宽

有限光谱带宽的发射线型光谱几乎在所有类型的光谱测量中都可以遇到，包括发射谱、拉曼谱、荧光谱和吸收谱。

在这些情形中，测量得到的光谱似乎存在发射（或者吸收）带。然而，如果采用一台更高分辨率的光谱仪来分析其中的一条谱“线”，我们就会发现超过某个特定的带宽值后，谱线带宽停止减小，意味着达到了被测光本身的谱宽。

这取决于由式(2-20)决定的光谱仪带宽和待测光本身的谱宽之间的大小关系。

如果待测光本身的谱宽大于光谱仪的带宽，那么对于光谱仪来说，待测发射“线型”谱好比连续谱的一部分。在这种情形下，光谱带宽实际上被看作围绕中心波长±0.5BP的光谱展宽。

实例1：

        图2.14光谱结果中前两个谱峰相距32mm。第一个谱峰的FWHM参数与第二个谱峰的相同，但是小于第三个谱峰的FWHM。这意味着第三个谱峰自身的光谱带宽大于光谱仪的光谱带宽，从而谱峰的带宽无法减小，即使采用更高分辨率的光谱仪来分析也无济于事。

        而第一、二个谱峰，它们自身的光谱带宽小于光谱仪测量给出的结果。测量这两个谱峰，相同的仪器工作在高带通条件下（更窄的狭缝）能够分析得到其他在低分辨条件下被湮没的“谱线”，或者是谱峰带宽的减小直到减为光谱仪的分辨极限或者谱线自身的光谱带宽为止。

实例2：

        如果一名科研人员在学术期刊上发现一条能够在他的光谱仪上再现的谱线，那么第一项任务就是找出谱线结果中的光谱带宽。假设这个参数没有给出，那么有必要对光谱结果进行研究。假定两个谱峰的中心波长已知，那么可以利用一把尺子尽可能准确的测量它们之间的距离。如果波长差为1.25nm而这个差别在谱图上的间距为32mm（参看图2.14），那么该谱图结果的色散值应该是1.25/32=0.04nm/mm。然后，通过测量半高全宽（FWHM）在谱图结果上对应的间距就能够计算出光谱带宽。比如说这一间距是4mm，那么光谱仪的光谱带宽是4mm×0.04nm/mm=0.16nm。

        假设采用表2.4标题所描述的光谱仪进行测试，综合式(2-21)和表2.5中的最大波长结果，那么表中列出的组合能够得到0.16nm的光谱带宽：

        最好的选择是3600gr/mm光栅，从而能够将狭缝宽度调整到最大以使得最多的光信号进入光谱仪。

        如果一个给定波长在高衍射阶次上测得，比如从第一阶到第二阶，人们通常认为由于色散值成倍增加，因此分辨率极限也会成倍增加。然而，在单色仪中存在许多辅助光学元件如平面或者凹面反射镜、透镜等，实际情况中不可能实现分辨率极限的成倍增加。原因如下：

• 随着光栅转动，系统成像偏差会改变（比如，彗差）

• 光栅高阶次衍射会导致衍射波波前的改变（对于刻划光栅最严重）

• 其他系统成像偏差如球面偏差、彗差、散光偏差和成像面的扭曲都会影响光栅的性能（特别是低f数时，如f/3，f/4等） 

        即使是半高全宽保持和低阶次测量时一样，光谱线型的劣化也常常会出现，原因在于FWHM中光子数目的减少导致谱峰的展宽。

        对于刻线密度一定的光栅，一台光谱仪从机械角度上来说能够测量的最大波长(l_max1)取决于光栅的机械旋转极限。因此，如果从一开始刻线密度为n₁的光栅，切换成另一块刻线密度为n₂的光栅，新的最大波长(l_max2)为：
(2-22)

        从表2.5可以清楚地看出，采用3600gr/mm光栅来衍射分离波长大于433nm的光，这是无法实现的。如果要求色散值为0.77nm/mm以在某一波长（比如600nm）达到一定的分辨率，那么光谱仪必须具备640mm的焦距（式(1-5)）。这时，采用2400gr/mm光栅，色散值能够达到0.77nm/mm，而且机械旋转能够实现最大波长650nm。

        在第2.12.6节的实例2中，解决该色散值问题的方案可以是在640mm焦距的光谱仪中采用2400gr/mm刻线密度的光栅。由于色散值随焦距(L_B)、刻线密度(n)和阶次(k)这些参数而变，对于某一波长上L_B已知的情况，色散方程（式(1-5)）简化为：

kn = 常数

        因此，如果采用2400gr/mm光栅能够实现的一阶色散值1.15nm/mm，采用1200gr/mm的光栅通过二阶衍射同样可以实现。但是请记住，当刻线密度n一定时，kl=常数（式(1-9)）。因此，采用1800gr/mm光栅的二阶衍射来解决前述问题是不可行的，原因在于二阶衍射时工作波长为600nm，也就是一阶衍射时工作波长为1200nm，从表2.5可以看出，这块光栅的一阶衍射最大波长为867nm。

        然而，如果需要在UV波段250nm处实现0.77nm/mm的色散值，这一波长能够在1800gr/mm光栅的二阶衍射波长500nm处观察，此时二阶色散值为0.75nm/mm。这种情况下，500nm波长的一阶衍射光也同样叠加在250nm波长的二阶衍射信号上（反之亦然）。那么，可通过波长选择性滤色片来消除不必要的信号。

        这一测量方法的主要缺点是光栅的二阶衍射效率不如一阶衍射高，而且阶次选择滤色片通常也会对信号产生衰减。如果采用刻划光栅，鬼线和杂散光还会随着阶次的增加而平方增长。

基于以下原则选择一台合适的仪器：

• 系统在满足光谱带宽要求的前提下能够实现尽可能大的入口狭缝宽度。

• 最大的色散值。

• 能够提供的最大光学元件。

• 能够提供的最长焦距。

• 满足光谱范围的最高刻线密度光栅。

• 光学元件和镀膜满足光谱范围要求。

•  入口光学元件优化光展量。

•  如果仪器工作在非扫描模式时测量单个波长，那么必须能够调整出口狭缝以匹配入口狭缝其像的大小。

        请记住：f数并不是总能反映光输出参数。比如说，光信号从f/1的光源发出，投射到f/6单色仪的入口狭缝处，这样所有的像都包含在狭缝内。此时，光谱仪工作的光子收集参数对应f/1而不是单色仪的f/6。参看第3章。